函数连续一定可导吗在数学中，连续性和可导性是两个重要的概念。很多初学者常常会混淆这两个概念，认为只要函数在某点连续，就一定在该点可导。其实不然，连续与可导之间并不是必然的因果关系。
一、
函数的连续性是指函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，而可导性则是指函数在该点存在导数，即函数在该点的切线斜率存在。虽然可导的函数一定是连续的，但连续的函数不一定可导。
常见的不可导但连续的函数包括完全值函数、分段函数等。这些函数在某些点上可能有“尖点”或“折点”，导致导数不存在。
因此，函数连续不一定可导，但函数可导一定连续。
二、对比表格
| 概念 | 定义说明 | 是否可导 | 备注说明 | ||
| 连续 | 函数在某点处的极限值等于该点的函数值 | 不一定 | 连续函数可能在某些点不可导 | ||
| 可导 | 函数在某点处的左右导数都存在且相等 | 一定 | 可导函数必定连续 | ||
| 例子1：f(x)= | x | 在x=0处连续，但导数不存在（左右导数不相等） | 不可导 | 典型的不可导但连续函数 | |
| 例子2：f(x)=x2 | 在所有点连续，并且处处可导 | 可导 | 常见的光滑函数 | ||
| 例子3：f(x)=sin(1/x)（x≠0），f(0)=0 | 在x=0处连续，但导数不存在 | 不可导 | 在原点附近震荡剧烈，不可导 |
三、重点拎出来说
聊了这么多，函数连续并不一定可导，但可导的函数一定连续。领会这一区别对于进修微积分和函数分析非常重要。在实际应用中，我们应根据具体情况判断函数是否可导，不能仅凭连续性做出判断。
